9.2a Bohr'sches Atommodell und Wasserstoffspektrum

Quelle: Mappe S. 95 · ➕ Themenpool

§9.2 sagt dass es diskrete Energieniveaus gibt; Niels Bohr lieferte 1913 das erste Modell, das diese Niveaus erstmals berechenbar machte — am einfachsten Atom, dem Wasserstoffatom (1 Proton, 1 Elektron).

Das Bohr'sche Atommodell (1913)

Bohr verband das planetenartige Atombild (Elektron umkreist den Kern) mit der Quantelung (§9.1) durch zwei Postulate:

1. Das Elektron bewegt sich nur auf bestimmten, diskreten Bahnen (Schalen) — nicht auf beliebigen. Auf diesen erlaubten Bahnen strahlt es (entgegen der klassischen Elektrodynamik) keine Energie ab, der Zustand ist stabil (stationär).
2. Energie wird nur beim Sprung zwischen zwei Bahnen ausgetauscht — als ein Photon ($\mathrm{\Delta }E=hf$, genau die Emission/Absorption aus §9.2). Solche Übergänge heißen Quantensprünge.

Jede Bahn trägt eine ganze Zahl, die Hauptquantenzahl $n$ ($n=1,2,3,\dots$): $n=1$ ist die innerste, energieärmste Bahn (Grundzustand), größere $n$ liegen weiter außen und höher (angeregte Zustände).

✎ Warum „Schalen"? Die Bahnen liegen nicht gleichmäßig, sondern rücken nach außen immer dichter zusammen; ab einem bestimmten $n$ ist das Elektron praktisch frei (das Atom ionisiert). Jede erlaubte Bahn hat eine feste Energie $E_n$ — die diskreten Energieniveaus aus §9.2 sind also genau Bohrs Bahnen.

Die Rydberg-Formel — Wellenlängen der Wasserstofflinien

Johannes Rydberg fand (zunächst rein empirisch, vor Bohr) eine Formel, die alle Spektrallinien des Wasserstoffs liefert; Bohrs Modell begründete sie dann theoretisch:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})}},n_2>n_1$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$\lambda$	Wellenlänge der Spektrallinie	m
$R$	Rydberg-Konstante $=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7$	${\mathrm{m}}^{-1}$
$n_1$	Hauptquantenzahl der unteren Bahn (Zielniveau)	—
$n_2$	Hauptquantenzahl der oberen Bahn (Startniveau)	—

✎ Bei Emission fällt das Elektron von $n_2$ (oben) auf $n_1$ (unten) — die freiwerdende Energie steckt im Photon. Bei Absorption läuft es umgekehrt; die Formel liefert dieselben Linien.

Die fünf Serien (Linienserien)

Jedes feste Zielniveau $n_1$ bündelt eine ganze Serie von Linien (alle Sprünge $n_2=n_1+1,n_1+2,\dots$):

Serie	$n_1$	Spektralbereich	Bedeutung
Lyman	1	UV (ultraviolett)	Sprünge auf den Grundzustand, energiereich
Balmer	2	sichtbar	die wichtigste Serie — als einzige im sichtbaren Licht
Paschen	3	IR (infrarot)	energieärmer
Brackett	4	IR (ferner)	—
Pfund	5	IR (ferner)	—

Nur die Balmer-Serie ($n_1=2$) liegt im sichtbaren Bereich — deshalb ist sie historisch und im Unterricht die zentrale: Sie ist das, was man bei Wasserstoff mit bloßem Auge / im Schulspektroskop als farbige Linien sieht (rot, blaugrün, violett).

Rechenbeispiel: die rote $H_{\alpha }$-Linie (Balmer)

Die hellste Balmer-Linie ist der Sprung von $n_2=3$ auf $n_1=2$ (genannt $H_{\alpha }$). Wellenlänge?

1. ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=R({\displaystyle \frac{1}{2^2}}-{\displaystyle \frac{1}{3^2}})=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{9}})=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7\cdot {\displaystyle \frac{5}{36}}$
2. ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7\cdot \mathrm{0,138}9\approx \mathrm{1,524}\cdot {10}^6{\mathrm{m}}^{-1}$
3. $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,524}\cdot {10}^6}}\approx 6,56\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 656\text{nm}$ — rotes Licht ✓

Die $H_{\alpha }$-Linie bei $\approx 656$ nm ist das charakteristische Rot des Wasserstoffs (z. B. die rote Farbe vieler Leuchtnebel im Weltall). Zur Kontrolle: $656$ nm liegt im roten Bereich ($\sim 1,9$ eV), passend zum kleinen Sprung $3\to 2$.

✎ Wie genau ist Bohrs Modell? Es ist halbklassisch (eine klassische Umlaufbahn, künstlich mit einer Quantenbedingung versehen) und beschreibt streng nur das Wasserstoffatom (ein Elektron). Es erklärt nicht Feinstruktur, Linienintensitäten oder Mehrelektronenatome und wurde später durch die Quantenmechanik (Schrödinger, §9.3a) ersetzt — dort gibt es keine Bahnen mehr, sondern Orbitale (Aufenthaltswahrscheinlichkeiten). Bemerkenswert ist aber: Bohrs Modell berechnet die Wasserstofflinien korrekt — es ist anschaulich richtig genug, um die Rydberg-Formel zu begründen, auch wenn das zugrunde liegende Bild (kreisende Teilchen) falsch ist.